Question

10．如圖，四棱錐P-ABCD，側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為4的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M為PC的中點(diǎn)．
（1）在棱PB上是否存在一點(diǎn)Q，使得QM∥面PAD？若存在，指出點(diǎn)Q的位置并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）求點(diǎn)D到平面PAM的距離．

Answer 1

分析 （1）取棱PB的中點(diǎn)Q，連結(jié)QM，QA，又M為PC的中點(diǎn)，證明QM∥AD，利用直線與平面平行的判定定理證明QM∥面PAD．
（2）設(shè)點(diǎn)D到平面PAC的距離為h，由V_D-PAC=V_P-ACD，通過(guò)證明以及計(jì)算即可求點(diǎn)D到平面PAM的距離．

解答 解：（1）當(dāng)點(diǎn)Q為棱PB的中點(diǎn)時(shí)，QM∥面PAD，證明如下：…（1分）
取棱PB的中點(diǎn)Q，連結(jié)QM，QA，又M為PC的中點(diǎn)，
所以$QM∥BC且QM=\frac{1}{2}BC$，
在菱形ABCD中AD∥BC可得QM∥AD…（3分）QM?面PAD，AD?面PAD，所以QM∥面PAD…（5分）
（2）點(diǎn)D到平面PAM的距離即點(diǎn)D到平面PAC的距離，
取AD的中點(diǎn)O，連接PO，則PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，
即PO為三棱錐P-ACD的體高．…（7分）
在Rt△POC中，$PO=OC=2\sqrt{3}$，$PC=2\sqrt{6}$，
在△PAC中，PA=AC=4，$PC=2\sqrt{6}$，邊PC上的高AM=$\sqrt{P{A^2}-P{M^2}}=\sqrt{10}$，
所以△PAC的面積${S_{△PAC}}=\frac{1}{2}PC•AM=\frac{1}{2}×2\sqrt{6}×\sqrt{10}=2\sqrt{15}$，…（9分）
設(shè)點(diǎn)D到平面PAC的距離為h，
由V_D-PAC=V_P-ACD得     $\frac{1}{3}{S_{△PAC}}•h=\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•PO$…（10分）
，又${S_{△ACD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{4^2}=4\sqrt{3}$，
所以$\frac{1}{3}×2\sqrt{15}•h=\frac{1}{3}×4\sqrt{3}×2\sqrt{3}$，…（11分）
解得$h=\frac{{4\sqrt{15}}}{5}$，所以點(diǎn)D到平面PAM的距離為$\frac{{4\sqrt{15}}}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，點(diǎn)線面距離的求法，等體積的方法的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．