Question

已知點A、B分別是橢圓=1（a＞b＞0）長軸的左、右端點，點C是橢圓短軸的一個端點，且離心率e=，S_△ABC=．動直線，l：y=kx+m與橢圓于M、N兩點．
（I）求橢圓的方程；
（II）若橢圓上存在點P，滿足（O為坐標原點），求λ的取值范圍；
（III）在（II）的條件下，當λ取何值時，△MNO的面積最大，并求出這個最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由離心率及三角形的面積聯(lián)立方程組，求出幾何量，即可求橢圓的方程；
（II）直線方程代入橢圓方程，分類討論，確定P的坐標，利用P在橢圓上，即可求λ的取值范圍；
（III）求出|MN|，點O到直線MN的距離，利用面積公式，結合基本不等式，即可求△MNO面積．
解答：解：（I）由題意，，∴
∴橢圓的方程為；
（II）y=kx+m代入橢圓方程整理可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
設點M、N的坐標分別為M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）、P（x，y），則
x₁+x₂=-，x₁x₂=
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=
（1）當m=0時，點M、N關于原點對稱，則λ=0．
（2）當m≠0時，點M、N不關于原點對稱，則λ≠0，
∵，∴（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=λ（x，y），
∴x₁+x₂=λx，y₁+y₂=λy，
∴x=-，y=
∵P在橢圓上，
∴
化簡，得4m²（1+2k²）=λ²（1+2k²）²．
∵1+2k²≠0，
∴有4m²=λ²（1+2k²）．…①
又∵△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=8（1+2k²-m²），
∴由△＞0，得1+2k²＞m²．…②
將①、②兩式，∵m≠0，∴λ²＜4，
∴-2＜λ＜2且λ≠0．
綜合（1）、（2）兩種情況，得實數(shù)λ的取值范圍是-2＜λ＜2；
（III）由題意，|MN|=，點O到直線MN的距離d=
∴S_△MNO===
由①得，代入上式并化簡可得S_△MNO=
∵=2
∴S_△MNO≤
當且僅當λ²=4-λ²，即時，等號成立
∴當時，△MNO的面積最大，最大值為．
點評：本題主要考查待定系數(shù)法求圓錐曲線的方程，要注意橢圓的三個參數(shù)的關系為：a²=b²+c²；求解直線與橢圓的位置關系問題，通常是聯(lián)立方程組，利用韋達定理求解．