(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值;
(2)當(dāng)b>0時(shí),求證:bb≥(其中e=2.718 28…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù));
(3)若a>0,b>0,證明f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)-f(b).
(文)已知向量m=(x2,y-cx),n=(1,x+b)(x,y,b,c∈R)且m∥n,把其中x,y所滿足的關(guān)系式記為y=f(x).若f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),F(x)=f(x)+af′(x)(a>0),且F(x)是R上的奇函數(shù).
(1)求和c的值.
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間(用字母a表示).
(3)當(dāng)a=2時(shí),設(shè)0<t<4且t≠2,曲線y=f(x)在點(diǎn)A(t,f(t))處的切線與曲線y=f(x)相交于點(diǎn)B(m,f(m))(A與B不重合),直線x=t與y=f(m)相交于點(diǎn)C,△ABC的面積為S,試用t表示△ABC的面積S(t),并求S(t)的最大值.
答案:(理)解:(1)∵f′(x)=lnx+1(x>0),
令f′(x)≥0,即lnx≥-1=lne-1.∵e=2.718 28…>1,∴y=lnx在(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù).
∴x≥e-1=.∴x∈[,+∞).同理,令f′(x)≤0可得x∈(0,].∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,].
由此可知y=f(x)min=f()=.
(2)證明:由(1)可知當(dāng)b>0時(shí),有f(b)≥f(x)min=,∴blnb≥,
即ln(bb)≥=ln().∴bb≥().
(3)證明:將f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)-f(b)變形,得f(a)+f(b)≥f(a+b)-(a+b)ln2,
即證f(a)+f(a+b-a)≥f(a+b)-(a+b)ln2.設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+f(k-x)(k>0).
∵f(x)=xlnx,∴g(x)=xlnx+(k-x)ln(k-x).∴0<x<k.∵g′(x)=lnx+1-ln(k-x)-1=ln,
令g′(x)>0,則有>1>0<x<k.
∴函數(shù)g(x)在[,k)上單調(diào)遞增,在(0,]上單調(diào)遞減.∴g(x)的最小值為g(),即總有g(shù)(x)≥g().而g()=f()+f(k-)=kln=k(lnk-ln2)=f(k)-kln2,∴g(x)≥f(k)-kln2,
即f(x)+f(k-x)≥f(k)-kln2.令x=a,k-x=b,則k=a+b.∴f(a)+f(b)≥f(a+b)-(a+b)ln2.
∴f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)-f(b).
(文)解:(1)∵f(x)=x3+bx2+cxz∴f′(x)=3x2+2bx+c.
∵F(x)=f(x)+af′(x)=x3+(b+3a)x2+(c+2ab)x+ac為奇函數(shù),由F(-x)=-F(x),可得b+3a=0,ac=0.
∵a>0,∴b=-3a,c=0.∴=-3,c=0.
(2)由(1)可得f(x)=x3-3ax2,∴f′(x)=3x(x-2a).令3x(x-2a)≤0,解得0≤x≤2a.∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[0,2a].
(3)當(dāng)a=2時(shí),曲線y=f(x)在點(diǎn)A(t,f(t))處的切線方程為y-f(t)=f′(t)(x-t),kAB=f′(t)=3t(t-4).
聯(lián)立方程組化簡(jiǎn),得f(x)-f(t)=f′(t)(x-t),
即x3-6x2-t3+6t2=(3t2-12t)(x-t),(x-t)(x2+xt+t2-6x-6t)=(x-t)(3t2-12t).
∵A、B不重合,∴x≠t.∴x2+xt+t2-6x-6t=3t2-12t.∴x2+(t-6)x-2t2+6t=0,
即(x-t)(x+2t-6)=0.∵x≠t,∴x=-2t+6.又另一交點(diǎn)為B(m,f(m)),∴m=-2t+6.
S(t)=|m-t|·|f(m)-f(t)|=(m-t)2·|kAB|=(t-2)2·3t(4-t)=(t-2)2(4-t)t,其中t∈(0,2)∪(2,4).
令h(t)=(t-2)2(4-t)t,其中t∈(0,2)∪(2,4).∵h(yuǎn)(t)=-(t4-8t3+20t2-16t),
∴h′(t)=-4(t3-6t2+10t-4)=-4(t-2)(t-2+)(t-2-).
由解得0<t≤2-,或2<t≤2+.
于是函數(shù)h(t)在區(qū)間(0,2-]、(2,2+]上是單調(diào)增函數(shù);在區(qū)間[2-,2)、[2+,4)上是單調(diào)減函數(shù).當(dāng)t=2-和t=2+時(shí),函數(shù)y=h(t)有極大值.
∴h(t)max=h(2-)=h(2+)=4.∴S(t)max=54.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
ln(2-x2) |
|x+2|-2 |
AB |
AD |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
sin2x-(a-4)(sinx-cosx)+a |
π |
2 |
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ln(2-x2) | |x+2|-2 |
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