Question

11．如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知棱長為a，M，N分別是BD和AD的中點(diǎn)，則B₁M與D₁N所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{30}}{10}$
• B． $\frac{\sqrt{30}}{10}$a
• C． -$\frac{\sqrt{30}}{10}$
• D． $\frac{\sqrt{15}}{15}$a

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法能求出B₁M與D₁N所成角的余弦值．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為2，
則B₁（2，2，2），M（1，1，0），D₁（0，0，2），N（1，0，0），
$\overrightarrow{{B}_{1}M}$=（-1，-1，-2），$\overrightarrow{{D}_{1}N}$=（1，0，-2），
設(shè)B₁M與D₁N所成角為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{{B}_{1}M}，\overrightarrow{{D}_{1}N}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{{B}_{1}M}，\overrightarrow{{D}_{1}N}|}{|\overrightarrow{{B}_{1}M}|•|\overrightarrow{{D}_{1}N}|}$=$\frac{3}{\sqrt{6}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴B₁M與D₁N所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．