Question

某批n件產(chǎn)品的次品率為1%，現(xiàn)在從中任意地依次抽出2件進(jìn)行檢驗(yàn)，問(wèn)：
（1）當(dāng)n=100，1000，10000時(shí)，分別以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到一件次品的概率各是多少？（精確到0.00001）
（2）根據(jù)（1），談?wù)勀銓?duì)超幾何分布與二項(xiàng)分布關(guān)系的認(rèn)識(shí)．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n=100時(shí)，如果放回，是二項(xiàng)分布．其概率為C₂¹•0.01•0.99=0.0198．如果不放回，是超幾何分布．概率為

C 1 1 C 1 99

C 2 100

=0.2．
當(dāng)n=1000時(shí)，如果放回，是二項(xiàng)分布．其概率為 C₂¹•0.01•0.99=0.0198．如果不放回，是超幾何分布．概率為

C 1 10 C 1 990

C 2 1000

≈0.0198．．
當(dāng)n=10000時(shí)，如果放回，這是二項(xiàng)分布．其概率為 C₂¹•0.01•0.99=0.0198．如果不放回，是超幾何分布．概率為

C 1 100 • C 1 9900

C 2 10000

≈0.0198．
（2）對(duì)超幾何分布與二項(xiàng)分布關(guān)系的認(rèn)識(shí)從共同點(diǎn)、不同點(diǎn)和聯(lián)系三個(gè)方面進(jìn)行說(shuō)明．

解答：解：（1）當(dāng)n=100時(shí)，
如果放回，這是二項(xiàng)分布．抽到的2件產(chǎn)品中有1件次品1件正品，其概率為
C₂¹•0.01•0.99=0.0198．
如果不放回，這是超幾何分布．100件產(chǎn)品中次品數(shù)為1，正品數(shù)是99，
從100件產(chǎn)品里抽2件，總的可能是C₁₀₀²，次品的可能是C₁¹C₉₉¹．
所以概率為

C 1 1 C 1 99

C 2 100

=0.2．
當(dāng)n=1000時(shí)，
如果放回，這是二項(xiàng)分布．抽到的2件產(chǎn)品中有1件次品1件正品，其概率為
C₂¹•0.01•0.99=0.0198．
如果不放回，這是超幾何分布．1000件產(chǎn)品中次品數(shù)為10，正品數(shù)是990，
從1000件產(chǎn)品里抽2件，總的可能是C₁₀₀₀²，次品的可能是C₁₀¹C₉₉₀¹．
所以概率為是

C 1 10 C 1 990

C 2 1000

≈0.0198．
如果放回，這是二項(xiàng)分布．抽到的2件產(chǎn)品中有1件次品1件正品，其概率為
C₂¹•0.01•0.99=0.0198．
如果不放回，這是超幾何分布．10000件產(chǎn)品中次品數(shù)為1000，正品數(shù)是9000，
從10000件產(chǎn)品里抽2件，總的可能是C₁₀₀₀₀²，次品的可能是C₁₀₀¹C₉₉₀₀¹．
所以概率為

C 1 100 • C 1 9900

C 2 10000

≈0.0198．
（2）對(duì)超幾何分布與二項(xiàng)分布關(guān)系的認(rèn)識(shí)：
共同點(diǎn)：每次試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果：成功或失�。�
不同點(diǎn)：1、超幾何分布是不放回抽取，二項(xiàng)分布是放回抽取；
        2、超幾何分布需要知道總體的容量，二項(xiàng)分布不需要知道總體容量，但需要知道“成功率”；
聯(lián)系：當(dāng)產(chǎn)品的總數(shù)很大時(shí)，超幾何分布近似于二項(xiàng)分布．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)分布和超幾何分布的性質(zhì)和應(yīng)用，具有一定的探索性．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意區(qū)分超幾何分布與二項(xiàng)分布的共同點(diǎn)、不同點(diǎn)和聯(lián)系．