Question

（本小題滿分13分）

已知數(shù)列{}滿足,

（I）寫出,并推測(cè)的表達(dá)式；

（II）用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論。

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) ＝, ＝, ＝,    猜測(cè)  。(Ⅱ)見解析。

【解析】

試題分析： （1）根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)來(lái)歸納猜想得到結(jié)論。

（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)加以證明即可。

解： (Ⅰ) ＝, ＝, ＝,    猜測(cè)    （4分）  

    (Ⅱ) ①由（Ⅰ）已得當(dāng)n＝1時(shí)，命題成立；        

②假設(shè)時(shí),命題成立，即＝2－,       （6分）

那么當(dāng)時(shí), ＋＋……＋＋2＝2(k＋1)＋1,

且＋＋……＋＝2k＋1－  （8分）

∴2k＋1－＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,

∴2＝2＋2－,  ＝2－,

即當(dāng)n＝k＋1時(shí),命題成立. 

根據(jù)①②得n∈N+  , ＝2－都成立    （13分）

考點(diǎn)：本題主要考查了數(shù)列的歸納猜想思想的運(yùn)用。以及運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法求證結(jié)論的成立與否。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是猜想的正確性，以及和運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，要注意假設(shè)的運(yùn)用，推理論證得到證明。