Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²+2n，
（1）求數(shù)列的通項公式a_n；
（2）設(shè)2b_n=a_n-1，且Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…

1

bnbn+1

，求T_n．

Answer 1

分析：（1）要求數(shù)列的通項公式，我們可以利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

及已知中S_n=n²+2n，進行求解．
（2）由（1）的結(jié)論，我們不難給出數(shù)列{b_n}的通項公式，然后根據(jù)數(shù)列求和的方法即可求出Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…

1

bnbn+1

的值．

解答：解：（1）∵S_n=n²+2n
∴當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n+1
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=3，a_n=2×1+1=3滿足上式．
故a_n=2n+1，n∈N*
（2）∵a_n=2n+1，n∈N*，
∴2b_n=a_n-1=2n
∴b_n=n
∴Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…

1

bnbn+1

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

=

n

n+1

點評：數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關(guān)系是an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，由a_n求S_n時方法千差萬別，但已知S_n求a_n時方法卻是高度統(tǒng)一．如果當(dāng)n≥2時求出a_n也適合n=1時的情形，可直接寫成a_n=S_n-S_n-1，否則分段表示．