Question

已知函數(shù)f（x）是區(qū)間D⊆[0，+∞）上的增函數(shù)，若f（x）可表示為f（x）=f₁（x）+f₂（x），且滿足下列條件：①f₁（x）是D上的增函數(shù)；②f₂（x）是D上的減函數(shù)；③函數(shù)f₂（x）的值域A⊆[0，+∞），則稱函數(shù)f（x）是區(qū)間D上的“偏增函數(shù)”．
（1）（i） 問函數(shù)y=sinx+cosx是否是區(qū)間(0，

π

4

)上的“偏增函數(shù)”？并說明理由；
（ii）證明函數(shù)y=sinx是區(qū)間(0，

π

4

)上的“偏增函數(shù)”．
（2）證明：對任意的一次函數(shù)f（x）=kx+b（k＞0），必存在一個區(qū)間D⊆[0，+∞），使f（x）為D上的“偏增函數(shù)”．

Answer 1

分析：（1）（i）記f₁（x）=sinx，f₂（x）=cosx，根據(jù)偏增函數(shù)的定義及正余弦函數(shù)的性質(zhì)可作出判斷；（ii）f（x）=（sinx-cosx）+cosx，記f1(x)=

2

sin(x-

π

4

)，f2(x)=cosx，根據(jù)偏增函數(shù)的定義可證明；
（2）分情況討論：①當(dāng)b＞0時，令f₁（x）=（k+1）x，f₂（x）=-x+b，取D=（0，b）；②當(dāng)b≤0時，取c＞0，且滿足c+b＞0，令f₁（x）=（k+1）x-c，f₂（x）=-x+b+c，D=（0，b+c），根據(jù)偏增函數(shù)定義即可證明；

解答：（1）解：（i） y=sinx+cosx是區(qū)間(0，

π

4

)上的“偏增函數(shù)”．
記f₁（x）=sinx，f₂（x）=cosx，顯然f₁（x）=sinx在(0，

π

4

)上單調(diào)遞增，f₂（x）=cosx在(0，

π

4

)上單調(diào)遞減，
且f₂（x）=cosx∈（

2

2

，1）⊆[0，+∞），
又y=f(x)=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)在(0，

π

4

)上單調(diào)遞增，
故y=sinx+cosx是區(qū)間(0，

π

4

)上的“偏增函數(shù)”．
（ii）證明：y=sinx=(sinx-cosx)+cosx=

2

sin(x-

π

4

)+cosx，
記f1(x)=

2

sin(x-

π

4

)，f2(x)=cosx，
顯然f1(x)=

2

sin(x-

π

4

)在(0，

π

4

)上單調(diào)遞增，f₂（x）=cosx在(0，

π

4

)上單調(diào)遞減，
且f₂（x）=cosx∈（

2

2

，1）⊆[0，+∞），
又y=f（x）=f₁（x）+f₂（x）=sinx在(0，

π

4

)上單調(diào)遞增，
故y=sinx是區(qū)間(0，

π

4

)上的“偏增函數(shù)”． 
（2）證明：①當(dāng)b＞0時，令f₁（x）=（k+1）x，f₂（x）=-x+b，D=（0，b），顯然D=（0，b）⊆[0，+∞），
∵k＞0，∴f（x）=kx+b在（0，b）上單調(diào)遞增，
f₁（x）=（k+1）x在（0，b）上單調(diào)遞增，f₂（x）=-x+b在（0，b）上單調(diào)遞減，
且對任意的x∈（0，b），b＞f₂（x）＞f₂（b）=0，
因此b＞0時，必存在一個區(qū)間（0，b），使f（x）=kx+b（k＞0）為D上的“偏增函數(shù)．
②當(dāng)b≤0時，取c＞0，且滿足c+b＞0，令f₁（x）=（k+1）x-c，f₂（x）=-x+b+c，D=（0，b+c）⊆[0，+∞），
顯然，f（x）=kx+b在（0，b+c）上單調(diào)遞增，
f₁（x）=（k+1）x-c在（0，b+c）上單調(diào)遞增，f₂（x）=-x+b+c在（0，b+c）上單調(diào)遞減，
且對任意的（0，b+c），b+c＞f₂（x）＞f₂（b+c）=0，
因此b≤0時，必存在一個區(qū)間（0，b+c），使f（x）=kx+b（k＞0）為D上的“偏增函數(shù)”．
綜上，對任意的一次函數(shù)f（x）=kx+b（k＞0），必存在一個區(qū)間D⊆[0，+∞），
使f（x）為D上的“偏增函數(shù)”．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、正余弦函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論思想，考查學(xué)生靈活運用知識分析問題解決新問題的能力，綜合性強(qiáng)，難度大．