Question

如圖所示，在△ABC中，AC=1，AB=3，∠ACB=

π

2

，P為AB的中點(diǎn)且△ABC與矩形BCDE所在的平面互相垂直，CD=2．
（1）求證：AD∥平面PCE；
（2）求三棱錐P-ACE的高．

Answer 1

分析：（1）利用線面平行的判定定理證明直線PH∥AD，即可證明AD∥平面PCE．
（2）利用等積法求三棱錐P-ACE的高．

解答：（1）設(shè)BD∩CE=H，連結(jié)PH，
∵P為AB的中點(diǎn)，∴PH為△ABD的中位線，
∴PH∥AD，
∵PH?面PCE，AD?面PCE，
∴AD∥平面PCE．
（2）∵AC=1，AB=3，∠ACB=

π

2

，
∴BC=

31-1

=

8

=2

2

，PC=

1

2

AB=

3

2

，PA=

3

2

，
∴sinA=

BC

AB

=

2 2

3

，
∴△APC的面積為

1

2

AC•APsinA=

1

2

×1×

3

2

×

2 2

3

=

2

2

，
∵CD=2，△ABC與矩形BCDE所在的平面互相垂直，
∴三角形ACE為直角三角形，
∴CE=2

3

．
設(shè)三棱錐P-ACE的高為h，
則，VP-ACE=

1

3

×

1

2

CE?AC?h=

1

3

×

1

2

×2

3

h=

3

3

h，VE-ACP=

1

3

×

2

2

×2=

2

3

，
∵V_E-ACP=V_P-ACE
∴等積法得

3

3

h=

2

3

，解得h=

2

3

=

6

3

．
即三棱錐P-ACE的高為

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間直線和平面平行的判定，利用線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可．求錐體的高，可以考慮使用等積法求解．