Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c有兩個極值點x₁，x₂，若f（x₁）=x₁＜x₂，則關(guān)于x的方程3（f（x））²+2af（x）+b=0的不同實根個數(shù)為（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

Answer 1

【答案】分析：由函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c有兩個極值點x₁，x₂，可得f^′（x）=3x²+2ax+b=0有兩個不相等的實數(shù)根，必有△=4a²-12b＞0．而方程3（f（x））²+2af（x）+b=0的△₁=△＞0，可知此方程有兩解且f（x）=x₁或x₂．再分別討論利用平移變換即可解出方程f（x）=x₁或f（x）=x₂解得個數(shù)．
解答：解：∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c有兩個極值點x₁，x₂，
∴f^′（x）=3x²+2ax+b=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴△=4a²-12b＞0．解得=．
∵x₁＜x₂，∴，．
而方程3（f（x））²+2af（x）+b=0的△₁=△＞0，∴此方程有兩解且f（x）=x₁或x₂．
不妨取0＜x₁＜x₂，f（x₁）＞0．
①把y=f（x）向下平移x₁個單位即可得到y(tǒng)=f（x）-x₁的圖象，∵f（x₁）=x₁，可知方程f（x）=x₁有兩解．
②把y=f（x）向下平移x₂個單位即可得到y(tǒng)=f（x）-x₂的圖象，∵f（x₁）=x₁，∴f（x₁）-x₂＜0，可知方程f（x）=x₂只有一解．
綜上①②可知：方程f（x）=x₁或f（x）=x₂．只有3個實數(shù)解．即關(guān)于x的方程3（f（x））²+2af（x）+b=0的只有3不同實根．
故選A．
點評：本題綜合考查了利用導數(shù)研究函數(shù)得單調(diào)性、極值及方程解得個數(shù)、平移變換等基礎知識，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法、推理能力、分類討論的思想方法、計算能力、分析問題和解決問題的能力．