Question

5．在極坐標(biāo)系中，曲線L的極坐標(biāo)方程為：7cos${\;}^{2}θ=\frac{144}{{ρ}^{2}}-9$，以極點為原點，極軸為x的非負(fù)半軸，取與極坐標(biāo)系相同的單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，在直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=7+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）在直角坐標(biāo)系中，寫出曲線L的一個參數(shù)方程和直線l的普通方程；
（2）在曲線L上任取一點P，求點P到直線l距離的最小值，并求此時點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先求出曲線L的直角坐標(biāo)方程，再求出曲線L的一個參數(shù)方程，消去參數(shù)可得直線l的普通方程；
（2）由（1）知曲線L的一個參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=4sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），可得曲線L上的點到直線l距離d=$\frac{|3cosθ+4sinθ-10|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|10-5sin（θ+α）|}{\sqrt{2}}$（sinα=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$），即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）方程 7cos${\;}^{2}θ=\frac{144}{{ρ}^{2}}-9$ 可化為7ρ²cos²θ=144-9ρ²，--------（1分）
所以，曲線L的直角坐標(biāo)方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1----------------（2分）
曲線L的一個參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=4sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）-----------------（3分）
直線l的普通方程為x+y-10=0----------------------（4分）
（2）由（1）知曲線L的一個參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=4sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）
所以，曲線L上的點到直線l距離d=$\frac{|3cosθ+4sinθ-10|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|10-5sin（θ+α）|}{\sqrt{2}}$（sinα=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$）--------（7分）
當(dāng)sin（θ+α）=1時曲線L上的點到直線l距離最小，最小值為$\frac{5\sqrt{2}}{2}$--------（8分）
此時P點直角坐標(biāo)為（$\frac{9}{5}$，$\frac{16}{5}$）------------------------（10分）

點評 本題主要考查坐標(biāo)系和參數(shù)方程的應(yīng)用，利用此時方程和極坐標(biāo)與普通方程的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．