Question

已知函數(shù)f(x)=2

3

sinx•cosx-2cos2x
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域；
（3）若f（x）≥0，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)中的恒等變換，將f（x）化簡(jiǎn)為：f（x）=2sin（2x-

π

6

）-1，從而可求函數(shù)f（x）的最小正周期和遞增區(qū)間；
（2）x∈[0，

π

2

]⇒2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域；
（3）解三角不等式2sin（2x-

π

6

）-1≥0即可求得實(shí)數(shù)x的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=

3

sin2x-cos2x-1=2sin（2x-

π

6

）-1，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），得
kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z），
∴f（x）的遞增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z），
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴2sin（2x-

π

6

）-1∈[-2，1]，即函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域?yàn)閇-2，1]；
（3）由f（x）=2sin（2x-

π

6

）-1≥0得：
2kπ+

π

6

≤2x-

π

6

≤2kπ+

5π

6

（k∈Z），
∴kπ+

π

6

≤x≤kπ+

π

2

（k∈Z），
∴f（x）≥0時(shí)實(shí)數(shù)x的取值范圍為[kπ+

π

6

，kπ+

π

2

]（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換，考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性與最值的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．