Question

2．（x²+$\frac{a}{2x}$）⁶展開式的常數(shù)項(xiàng)是15，如圖陰影部分是由曲線y=x²和圓x²+y²=a及x軸圍成的封閉圖形，則封閉圖形面積為$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 用二項(xiàng)式定理得到中間項(xiàng)系數(shù)，解得a，然后利用定積分求陰影部分的面積．

解答 解：因?yàn)椋▁²+$\frac{a}{2x}$）⁶展開式的常數(shù)項(xiàng)是15，
所以${C}_{6}^{4}•（\frac{a}{2}）^{4}$=15，解得a=2，
所以曲線y=x²和圓x²+y²=2的在第一象限的交點(diǎn)為（1，1）
所以陰影部分的面積為$\frac{π}{4}$-${∫}_{0}^{1}（x-{x}^{2}）dx$=$\frac{π}{4}$-$（\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{3}）{|}_{0}^{1}$=$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{6}$．
故答案為$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理以及定積分求陰影部分的面積，屬于常規(guī)題．