Question

16．當(dāng)0＜x＜$\frac{π}{3}$時(shí)，函數(shù)f（x）=$\frac{{{{cos}^2}x}}{{2cosxsinx-{{sin}^2}x}}$的最小值是（　　）

• A． 4
• B． 1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 本題屬于三角函數(shù)與基本初等函數(shù)綜合試題．本題的關(guān)鍵要善于觀察，利用f（x）的倒數(shù)來轉(zhuǎn)換得到$\frac{1}{f（x）}=\frac{2cosxsinx-（sinx）^{2}}{（cosx）^{2}}$=2tanx-（tanx）²，從而利用一元二次函數(shù)知識(shí)與換方法來求解．

解答 解：∵0＜x＜$\frac{π}{3}$，∴（cosx）²≠0，
由函數(shù)解析式$f（x）=\frac{（cosx）^{2}}{2cosxsinx-（sinx）^{2}}$ 可得出：
$\frac{1}{f（x）}=\frac{2cosxsinx-（sinx）^{2}}{（cosx）^{2}}$=2tanx-（tanx）²，
令：h（x）=2tanx-（tanx）²，t=tanx，
∵0＜x＜$\frac{π}{3}$，∴0＜t＜$\sqrt{3}$，
換元后得：h（t）=2t-t²，
∴0＜h（t）≤1，
即 $0＜\frac{1}{f（x）}≤1$，
∴f（x）≥1，
∴f（x）的最小值為1．
因此，本題正確答案為：B．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于三角函數(shù)與基本初等函數(shù)綜合試題，屬中等難度試題．考生應(yīng)熟悉綜合利用三角函數(shù)與一元二次函數(shù)的知識(shí)求出值域，但在換元的過程中，一定要注意變量的取值范圍．