Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對任意實數(shù)m，n，總有f（m+n）=f（m）•f（n），且當(dāng)x＞0時，0＜f（x）＜1．
（1）試求f（0）的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性并證明你的結(jié)論；
（3）若不等式f[（t-2）（|x-4|-|x+4|）]＞f（t²-4t+13）對t∈[4，6]恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）令m=1，n=0，可求出f（0），（2）根據(jù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，去掉對應(yīng)法則f，把f[（t-2）（|x-4|-|x+4|）]＞f（t²-4t+13）轉(zhuǎn)化不等式為（t-2）（|x-4|-|x+4|）＜t²-4t+13，達到求解目的．
解答：解：（1）令m=1，n=0，則f（1）=f（1）f（0），又0＜f（1）＜1，故f（0）=1
（2）當(dāng)x＜0時，-x＞0，則
即對任意x∈R都有f（x）＞0
對于任意x₁＞x₂，
即f（x）在R上為減函數(shù)．

（3）∵y=f（x）為R上的減函數(shù)
∴f[（t-2）（|x-4|-|x+4|）]＞f（t²-4t+13）
?（t-2）（|x-4|-|x+4|）＜t²-4t+13?
由題意知，
而
∴須|x-4|-|x+4|＜6，解不等式得x＞-3
所以原不等式的解集為：{x：x＞-3}．
點評：抽象函數(shù)求某點的函數(shù)值，通常采取賦值法解決；對于抽象函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性的判定，一般采取定義解決，對于不等式恒成立的問題，分離參數(shù)是首選方法，此題難度較大，綜合性強，屬難題．