已知
a
=(cosα，sinα)，
b
=(cosβ，sinβ)，0＜α＜β＜π
（I）求|
a
|的值；
（II）求證：
a
+
b
與
a
-
b
互相垂直；
（III）設(shè)|k
a
+
b
|=|
a
-k
b
|，k∈R且k≠0，求β-α的值．
（I）∵
a
=(cosα，sinα)，
∴|
a
| =
cos2α+sin2α
=1．（3分）
（II）證明：∵（
a
+
b
）•（
a
-
b
）
=（cosα+cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα-sinβ）（6分）
=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β
=0，
∴（
a
+
b
）⊥（
a
-
b
）．（8分）
（III）∵k
a
+
b
=(kcosαβ，ksinα+sinβ)，
∴
a
-k
b
=（cosα-kcosβ，sinα-ksinβ），（10分）
∴|k
a
+
b
|  =
(kcosα+cosβ)2+(ksinα+sinβ)2

=
k2+1+2kcos(β-α)
，（12分）
|
a
-k
b
|  =
(cosα-kcosβ)2+(sinα-ksinβ)2

=
1-2kcos(β-α)+k2
，
∵|k
a
+
b
|=|
a
-k
b
|，
∴
k2+1+2kcos(β-α)
=
1-2kcos(β-α)+k2
，
整理，得2kcos（β-α）=-2kcos（β-α）
又k≠0，∴cos（β-α）=0
∵0＜α＜β＜π，
∴0＜β-α＜π，
∴β-α=
π
2
．（14分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知
a
=(cosα，sinα)，
b
=(cosβ，sinβ)，其中0＜α＜β＜π．
（1）求證：
a
+
b
與
a
-
b
互相垂直；
（2）若k
a
+
.
b
與
a
-k
.
b
的長(zhǎng)度相等，求α-β的值（k為非零的常數(shù)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2008•靜安區(qū)一模）（文）已知
a
=(cosα，3sinα)，
b
=(3cosβ，sinβ)，(0＜β＜α＜
π
2
)是平面上的兩個(gè)向量．
（1）試用α、β表示
a
•
b
；
（2）若
a
•
b
=
36
13
，且cosβ=
4
5
，求α的值（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知
a
=(cosθ，sinθ)，
b
=(cosα，sinα)，則下列說(shuō)法不正確的是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知
a
=
cosωx，sinωx
，
b
=
cosωx+
3
sinωx，
3
cosωx-sinωx
（ω＞0），函數(shù)f(x)=
a
•
b
的最小正周期為π
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間及對(duì)稱(chēng)中心；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間
π
4
，
π
2
上的最大值與最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2005•朝陽(yáng)區(qū)一模）已知
a
=(cosα，sinα)，
b
=(cosβ，sinβ)，0＜α＜β＜π
（I）求|
a
|的值；
（II）求證：
a
+
b
與
a
-
b
互相垂直；
（III）設(shè)|k
a
+
b
|=|
a
-k
b
|，k∈R且k≠0，求β-α的值．

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