Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-x²+4ax-3a²
（1）當(dāng)a=1，x∈[-3，3]時(shí)，求函數(shù)f（x）的取值范圍；
（2）若0＜a＜1，x∈[1-a，1+a]時(shí)，恒有-a≤f（x）≤a成立，試確定a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知f（x）在[-3，2]上單調(diào)遞增，在[2，3]上單調(diào)遞減，結(jié)合單調(diào)性可求函數(shù)的最大值與最小值，即可求解
（2）由題意可得，二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=2a，[1-a，1+a]，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x=2a時(shí)，函數(shù)有最大值f（2a）=a²，f（x）_min=min{f（1-a），f（1+a）}，結(jié)合1-a，與1+a距離對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近可求函數(shù)的最小值，而由-a≤f（x）≤a成立可得，f（x）_max≤a，f（x）_min≥-a，可求

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=-x²+4x-3=-（x-2）²+1
∵f（x）在[-3，2]上單調(diào)遞增，在[2，3]上單調(diào)遞減
∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有最大值1，當(dāng)x=-3時(shí)，函數(shù)有最小值-24
∴-24≤f（x）≤1
（2）∵0＜a＜1，二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=2a，則2a＜1+a
①當(dāng)2a＜1-a即0＜a＜

1

3

時(shí)，
f（x）_min=f（1+a）=2a-1，f（x）_max=f（1-a）=-8a²+6a-1
此時(shí)，

-8a2+6a-1≤a 2a-1≥-a 1 3 ≤a＜1

，此時(shí)a不存在
②當(dāng)2a＞1-a，即1＞a＞

1

3

時(shí)，二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=2a∈[1-a，1+a]
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x=2a時(shí)，函數(shù)有最大值f（2a）=a²，
f（x）_min=min{f（1-a），f（1+a）}
若f（x）_min=f（1-a）=-8a²+6a-1
此時(shí)有

-8a2+6a-1≥-a a2≤a a≥ 1 2

，解可得

1

2

≤a≤

7+ 17

16

若f（x）_min=f（1+a）=2a-1
此時(shí)有，

2a-1≥-a a2≤a 0＜a＜ 1 2

解可得

1

3

≤a＜

1

2

綜上可得，

1

3

≤a≤

7+ 17

16

點(diǎn)評(píng)：本題主要了一元二次不等式恒成立的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用了二次函數(shù)圖象的特點(diǎn)數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的．