Question

（2013•唐山二模）選修4-1：幾何證明選講
如圖所示，AC為⊙O的直徑，D為

BC

的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DE∥AB；
（Ⅱ）求證：AC•BC=2AD•CD．

Answer 1

分析：（I）欲證DE∥AB，連接BD，因?yàn)镈為

BC

的中點(diǎn)及E為BC的中點(diǎn)，可得DE⊥BC，因?yàn)锳C為圓的直徑，所以∠ABC=90°，最后根據(jù)垂直于同一條直線的兩直線平行即可證得結(jié)論；
（II）欲證AC•BC=2AD•CD，轉(zhuǎn)化為AD•CD=AC•CE，再轉(zhuǎn)化成比例式

AC

CD

=

AD

CE

．最后只須證明△DAC∽△ECD即可．

解答：證明：（Ⅰ）連接BD，因?yàn)镈為

BC

的中點(diǎn)，所以BD=DC．
因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以DE⊥BC．
因?yàn)锳C為圓的直徑，所以∠ABC=90°，
所以AB∥DE．…（5分）
（Ⅱ）因?yàn)镈為

BC

的中點(diǎn)，所以∠BAD=∠DAC，
又∠BAD=∠DCB，則∠DAC=∠DCB．
又因?yàn)锳D⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．
所以

AC

CD

=

AD

CE

，AD•CD=AC•CE，2AD•CD=AC•2CE，
因此2AD•CD=AC•BC．…（10分）

點(diǎn)評：本題考查了直徑所對的圓周角為直角及與圓有關(guān)的比例線段的知識．解題時(shí)，乘積的形式通�？梢赞D(zhuǎn)化為比例的形式，通過相似三角形的性質(zhì)得出．