Question

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1,2,3…….

(1)求a1，a2；

(2)猜想數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式，并給出嚴(yán)格的證明．

Answer 1

解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，

于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，

解得a1＝.

當(dāng)n＝2時(shí)，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－，于是2－a2－a2＝0，解得a2＝.

 (2)由題設(shè)(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，

即S－2Sn＋1－anSn＝0.

當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，

代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.①

由(1)得S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.

由①可得S3＝.由此猜想Sn＝，n＝1,2,3….

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論．

(ⅰ)n＝1時(shí)已知結(jié)論成立．

(ⅱ)假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)結(jié)論成立，

即Sk＝，

當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由①得Sk＋1＝，

即Sk＋1＝，故n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立．

綜上，由(ⅰ)(ⅱ)可知Sn＝對(duì)所有正整數(shù)n都成立．