Question

已知函數(shù)y=f（x），對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）+m，則函數(shù)g（x）=f（x）+m+3ln

e

，x∈[-1，1]的最大值與最小值之和是

 

．

Answer 1

分析：構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）+m，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可判定函數(shù)h（x）為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)圖象的性質(zhì)即可求出答案．

解答：解：∵函數(shù)y=f（x），對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）+m，
∴令x=y=0時，f（0）=f（0）+f（0）+m，
∴f（0）=-m，
令y=-x時，f（0）=f（x）+f（-x）+m，
∴f（x）+f（-x）=-2m，
令h（x）=f（x）+m，則h（x）+h（-x）=0即h（x）為奇函數(shù)，
奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，它的最大值與最小值互為相反數(shù)，
設(shè)h（x）在[-1，1]的最大值為M，則h（x）在[-1，1]的最小值為-M，
∴函數(shù)g（x）在[-1，1]的最大值為3ln

e

+M，則g（x）在[-1，1]的最小值為3ln

e

-M，
∴函g（x）=f（x）+m+3ln

e

在[-1，1]的最大值與最小值之和為6ln

e

=3．
故答案為：3．

點評：本題考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，主要考查了函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，本題主要考查了利用賦值法求解抽象函數(shù)的函數(shù)值，解決本題的關(guān)鍵是恰當(dāng)構(gòu)造奇函數(shù)．屬于中檔題．