Question

（2006•黃浦區(qū)二模）在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=a，AC=b，AA₁=c，∠BAC=90°．
（1）求使AB₁⊥BC₁的充要條件（用a，b，c表示）；
（2）求證∠B₁AC₁為銳角；
（3）若∠ABC=60°，則∠B₁AC₁是否可能為45⁰？證明你的結論．

Answer 1

分析：分別以AB，AC，AA₁為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，由題意可得：A（0，0，0），B（a，0，0），B1（a，0，c），C1（0，b，c）．
（1）可得

AB1

=（a，0，c），

BC1

=(-a，b，c)，令

AB1

•  

BC1

=0，可得c²-a²=0，進而得到答案．
（2）由題意可得：

AB1

=（a，0，c），

AC1

=（0，b，c），可得

AB1

•

AC1

=c²＞0，進而得到答案．
（3）若∠ABC=60°，則b=

3

a，根據(jù)向量的數(shù)量積可得：cos∠B₁AC₁=

AB1 • AC1

| AB1 ||AC1 |

=

1

( a c )2 +1 • 3( a c )2+1

＜1，即可得到答案．

解答：解：分別以AB，AC，AA₁為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系如圖所示：

因為AB=a，AC=b，AA₁=c，
所以由題意可得：A（0，0，0），B（a，0，0），B1（a，0，c），C1（0，b，c）．
（1）由以上可得：

AB1

=（a，0，c），

BC1

=(-a，b，c)，
因為AB₁⊥BC₁，
所以

AB1

•  

BC1

=0，即c²-a²=0，
所以使AB₁⊥BC₁的充要條件是c²-a²=0．
（2）由題意可得：

AB1

=（a，0，c），

AC1

=（0，b，c），
所以

AB1

•

AC1

=c²＞0，
所以

AB1

與

AC1

的夾角為銳角，即∠B₁AC₁為銳角．
（3）若∠ABC=60°，則b=

3

a，
所以cos∠B₁AC₁=

AB1 • AC1

| AB1 ||AC1 |

=

c2

a2+c2 •  3a2+c2

=

1

( a c )2 +1 • 3( a c )2+1

＜1，
所以∠B₁AC₁可能為45⁰．

點評：本小題考查線線垂直、線線角等基礎知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想像能力、運算能力和推理論證能力．