Question

對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，符號(hào)[x]表示x的整數(shù)部分，即[x]是不超過(guò)x的最大整數(shù)．計(jì)算：[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂1024]的值=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)符號(hào)[x]的定義，逐項(xiàng)求出值，注意值的部分相等性，再借助于數(shù)列求和運(yùn)算得出結(jié)果．
解答：解：當(dāng)[log₂x]=n，n∈N時(shí)，2ⁿ≤x＜2 ⁿ⁺¹，若x是正整數(shù)，則x共有2ⁿ項(xiàng)∴原式=0+（1+1）+（2+2+2+2）+（3+3+3+3+3+3+3+3）+…+（9+9+…9）+10
=0+2×1+2²×2+2³×3+2⁴×4+…2⁹×9+10．令S=2×1+2²×2+2³×3+2⁴×4+…2⁹×9①則2S=2²×1+2³×2+2⁴×3+2⁴×4+…2⁹×8+2¹⁰×9②
①-②得-S=2¹+2²+2³+2⁴+…+2⁹-2¹⁰×9=-2（1-2⁹）-2¹⁰×9=-8194．
∴原式8194+10=8204
故答案為：8204．
點(diǎn)評(píng)：本題是新定義，考查理解、分析，計(jì)算能力．新定義類型題目要準(zhǔn)確理解、把握住定義的本質(zhì)，轉(zhuǎn)化成已有的知識(shí)和方法解決．