Question

在數(shù)列中，、，且.

(Ⅰ) 求、，猜想的表達(dá)式，并加以證明；

(Ⅱ) 設(shè)，求證：對(duì)任意的自然數(shù)，都有.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) ，。證明見解析 (Ⅱ)見解析

【解析】本試題主要是考查了歸納猜想的思想的運(yùn)用，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)相關(guān)的命題的綜合運(yùn)用。

（1）對(duì)于n令值然后分析得到前幾項(xiàng)的值。

（2）歸納猜想其通項(xiàng)公式，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明即可。

解：（1）容易求得：，----------------------（2分）

故可以猜想， 下面利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：

（i） 顯然當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，-----------------（3分）

（ii） 假設(shè)當(dāng)；時(shí)（也可以），結(jié)論也成立，即

，--------------------------（4分）

那么當(dāng)時(shí)，由題設(shè)與歸納假設(shè)可知：

------------（6分）

即當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立，綜上，對(duì),成立。--------（7分）

（2）---（9分）

所以

---------（11分）

所以只需要證明

（顯然成立）

所以對(duì)任意的自然數(shù)，都有-------（14分）