在數(shù)列中，、，且.

(Ⅰ) 求、，猜想的表達(dá)式，并加以證明；

(Ⅱ) 設(shè)，求證：對任意的自然數(shù)，都有.

 

【答案】

(Ⅰ) ，。證明見解析 (Ⅱ)見解析

【解析】本試題主要是考查了歸納猜想的思想的運(yùn)用，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)相關(guān)的命題的綜合運(yùn)用。

（1）對于n令值然后分析得到前幾項(xiàng)的值。

（2）歸納猜想其通項(xiàng)公式，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明即可。

解：（1）容易求得：，----------------------（2分）

故可以猜想， 下面利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：

（i） 顯然當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，-----------------（3分）

（ii） 假設(shè)當(dāng)；時(shí)（也可以），結(jié)論也成立，即

，--------------------------（4分）

那么當(dāng)時(shí)，由題設(shè)與歸納假設(shè)可知：

------------（6分）

即當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立，綜上，對,成立。--------（7分）

（2）---（9分）

所以

---------（11分）

所以只需要證明

（顯然成立）

所以對任意的自然數(shù)，都有-------（14分）

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列中，，，且（）。

（Ⅰ）設(shè)（），求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011屆河北省唐山一中高三高考仿真理數(shù) 題型：解答題

（本小題滿分12分）
在數(shù)列中，已知且。
（1）記證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)求的值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年黑龍江省高三第一學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型：填空題

在數(shù)列中，若，且對任意的正整數(shù)都有，

則的值為　　．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年新人教版高三上學(xué)期單元測試（5）數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

（12分）在數(shù)列中，=0，且對任意k，成等差數(shù)列，

其公差為2k。

（Ⅰ）證明成等比數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆河北省下學(xué)期高一第1次考試數(shù)學(xué)試卷 題型：填空題

在數(shù)列中，已知且，則_______

 

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