Question

設S為集合{1，2，3，…，50}的子集，它具有下列性質：S中任何兩個不同元素之和不被7整除，那么S中的元素最多可能有多少個？

Answer 1

分析：確定集合{1，2，3，…，50}中所有的數都除以7取余數的分類，利用S中任何兩個不同元素之和不被7整除，可得余數為1和余數為6，余數為2和余數為5，余數為3和余數為4不能同時在S中，余數為0時只能有一個元素在S中，從而可得結論．

解答：解：集合{1，2，3，…，50}中所有的數都除以7取余數，可分為7組，即余數分別為0，1，2，3，4，5，6；
其中余數為0時，有{7，14，21，28，35，42，49}共7個；
余數為1時，有{1，8，15，…，50}共8個；
余數為2時，有{2，9，16，…，44}共7個；
余數為3時，有{3，10，17，…，45}共7個；
余數為4時，有{4，11，18，…，46}共7個；
余數為5時，有{5，12，19，…，47}共7個；
余數為6時，有{6，13，20，…，48}共7個；
根據題意知，余數為1和余數為6，余數為2和余數為5，余數為3和余數為4不能同時在S中，余數為0時只能有一個元素在S中；
所以，S最大時，元素應是余數為1時+余數為2時+余數為3（或余數為4）時+余數為0時的一個元素，共23個元素．

點評：本題以集合與元素為數學模型，考查了子集的概念，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．