Question

選修4-5：不等式選講．
已知函數(shù)f（x）=log₃（|x-1|+|x-4|-a），a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=-3時(shí)，求f（x）≥2的解集；
（Ⅱ）當(dāng)f（x）定義域?yàn)镽時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=-3時(shí)，求f（x）≥2可得|x-1|+|x-4|≥6．而-

1

2

、

11

2

對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和4對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于6，由此求得不等式的解集．
（Ⅱ）當(dāng)f（x）=log₃（|x-1|+|x-4|-a）的定義域?yàn)镽時(shí)，|x-1|+|x-4|＞a 恒成立．而由絕對(duì)值的意義求得|x-1|+|x-4|的最小值為3，從而求得a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=-3時(shí)，求f（x）≥2，即log₃（|x-1|+|x-4|+3）≥2，
∴|x-1|+|x-4|+3≥3²=9，∴|x-1|+|x-4|≥6．
而|x-1|+|x-4|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和4對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
而-

1

2

對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和4對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于6，

11

2

對(duì)應(yīng)點(diǎn)到0和4對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于6，
故不等式的解集為{x|x≤-

1

2

，或 x≥

11

2

}．
（Ⅱ）當(dāng)f（x）=log₃（|x-1|+|x-4|-a）的定義域?yàn)镽時(shí)，
|x-1|+|x-4|-a＞0恒成立，即|x-1|+|x-4|＞a 恒成立．
而由絕對(duì)值的意義可得，|x-1|+|x-4|的最小值為3，故有3＞a，
故a的范圍為（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法、絕對(duì)值的意義，以及函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．