Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²+2x+alnx
（1）若a=-4，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若a=1時(shí)，證明f（x+1）≤x²+5x+3
（3）當(dāng)t≥1時(shí)，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，試證明a≤2．

Answer 1

分析 （1）把a(bǔ)=-4代入得f（x），求出f′（x）＞0得函數(shù)的增區(qū)間，求出f′（x）＜0得到函數(shù)的減區(qū)間，即可得到函數(shù)的極小值；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明ln（1+x）≤x在x＞-1上恒成立，令m（x）=ln（1+x）-x，（x＞-1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可；
（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為t＞1時(shí)，a≤$\frac{{2（t-1）}^{2}}{ln\frac{{t}^{2}}{2t-1}}$恒成立，結(jié)合（2），求出a的范圍即可．

解答 解：（1）由題意得，f（x）=x2+2x-4lnx，f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=2x+2-$\frac{4}{x}$，（x＞0），
∴由f'（x）＞0，得：x＞1，由f'（x）＜0，得：0＜x＜1，
故f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴函數(shù)f（x）有極小值f（1）=3．
（2）易知要證f（x+1）≤x²+5x+3，
即證ln（1+x）≤x在x＞-1上恒成立，
令m（x）=ln（1+x）-x，（x＞-1），
則m′（x）=$\frac{-x}{1+x}$，
∴m（x）在x=0時(shí)取極大值，同時(shí)也是最大值，
故m（x）≤m（0）=0，
即ln（1+x）≤x在x＞-1恒成立；
（3）∵f（x）=x²+2x+alnx，
∴f（2t-1）≥2f（t）-3，
∴2t2-4t+2≥2alnt-aln（2t-1）=aln $\frac{{t}^{2}}{2t-1}$，
當(dāng)t≥1時(shí)，t²≥2t-1，∴l(xiāng)n $\frac{{t}^{2}}{2t-1}$≥0，
即t＞1時(shí)，a≤$\frac{{2（t-1）}^{2}}{ln\frac{{t}^{2}}{2t-1}}$恒成立．
又易證ln（1+x）≤x在x＞-1上恒成立，
∴l(xiāng)n $\frac{{t}^{2}}{2t-1}$=ln[1+$\frac{{（t-1）}^{2}}{2t-1}$]≤$\frac{{（t-1）}^{2}}{2t-1}$＜（t-1）2在t＞1上恒成立，
當(dāng)t=1時(shí)取等號(hào)，∴當(dāng)t≥1時(shí)，ln $\frac{{t}^{2}}{2t-1}$≤（t-1）2，
∴由上知a≤2．故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)恒成立時(shí)所取的條件．考查考生的運(yùn)算、推導(dǎo)、判斷能力．