Question

下列說法中正確的是______（寫出所有正確的序號）
①△ABC中，若a=

3

，b=1，A=30°，則cosB的值有兩解；
②△ABC中，若a=1，b=

3

，A=30°，則cosB的值有兩解；
③△ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B；
④△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB．

Answer 1

①由a=

3

，b=1，A=30°，
根據(jù)正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinB=

1× 1 2

3

=

3

6

，
又a＞b，得到A＞B，即B＜30°，
則cosB=

1-sin2B

=

33

6

，即cosB只有一解，本選項(xiàng)錯誤；
②由a=1，b=

3

，A=30°，
根據(jù)正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinB=

3 × 1 2

1

=

3

2

，
又a＜b，得到A＜B，即B＞30°，
則cosB=

1-sin2B

=

1

2

，即cosB有兩解，本選項(xiàng)正確；
③在△ABC中，若sinA＞sinB，則由正弦定理可得 a＞b，
再根據(jù)△ABC中大邊對大角可得A＞B，本選項(xiàng)正確；
④△ABC中，若A＞B，分兩種情況：
當(dāng)0＜B＜A≤90°，正弦函數(shù)sinx為單調(diào)遞增區(qū)間，顯然sinA＞sinB；
當(dāng)0＜B＜90°＜A，設(shè)B=90°-x，A=90°+y（x與y均為大于0，小于90°的角），
sinB=sin（90°-x）=cosx，sinA=（90°+y）=cosy，
∵0＜A+B＜180°，則0＜90°-x+90°+y＜180，∴x＞y，
由余弦函數(shù)cosx在（0，90°）為單調(diào)遞減函數(shù)，
∴cosx＜cosy，即sinB＜sinA，
綜上，△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB，本選項(xiàng)正確，
故答案為：②③④