Question

已知數(shù)列{a_n}中的相鄰兩項(xiàng)a_2k-1，a_2k是關(guān)于x的方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的兩個(gè)根，且a_2k-1≤a_2k（k=1，2，3，…）．
（I）求a₁，a₃，a₅，a₇；
（II）求數(shù)列{a_n}的前2n項(xiàng)和S_2n；
（Ⅲ）記，，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）用解方程或根與系數(shù)的關(guān)系表示a_2k-1，a_2k，k賦值即可．
（2）由S_2n=（a₁+a₂）+…+（a_2n-1+a_2n）可分組求和．
（3）T_n復(fù)雜，常用放縮法，但較難．
解答：解：（I）解：方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的兩個(gè)根為x₁=3k，x₂=2^k，
當(dāng)k=1時(shí)，x₁=3，x₂=2，所以a₁=2；
當(dāng)k=2時(shí)，x₁=6，x₂=4，所以a₃=4；
當(dāng)k=3時(shí)，x₁=9，x₂=8，所以a₅=8時(shí)；
當(dāng)k=4時(shí)，x₁=12，x₂=16，所以a₇=12．
（II）解：S_2n=a₁+a₂++a_2n=（3+6++3n）+（2+2²++2ⁿ）=．
（III）證明：，
所以，．當(dāng)n≥3時(shí)，，=，
同時(shí)，=．
綜上，當(dāng)n∈N*時(shí)，．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差、等比數(shù)列的基本知識(shí)，考查運(yùn)算及推理能力．本題屬難題，一般要求做（1），（2）即可，讓學(xué)生掌握常見方法，對(duì)（3）不做要求．