Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n）滿足a₁=2，b₁=1，且（n≥2），數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_n+b_n
（1）求c₁和c₂的值；
（2）求證：數(shù)列 {c_n}為等差數(shù)列，并求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)數(shù)列{c_n}的前n和為S_n，求證：+++…+＜1．

Answer 1

（1）解：（1）由題意，∵a₁=2，b₁=1，∴c₁=a₁+b₁=3，
∵=，=，
∴c₂=a₂+b₂=5；
（2）證明：因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/88409.png' />（n≥2），
∴c_n=a_n+b_n=（）+（）=a_n-1+b_n-1+2=c_n-1+2
∴c_n-c_n-1=2，即數(shù)列{c_n}是以c₁=3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列
∴c_n=3+2（n-1）=2n+1；
（3）證明：S_n==n（n+2），∴=
∴+++…+=+…+]
==＜＜1．
分析：（1）利用數(shù)列遞推式，代入計(jì)算，可得結(jié)論；
（2）根據(jù)題設(shè)得a_n+b_n=（a_n-1+b_n-1）+2（n≥2），即c_n=c_n-1+2（n≥2），即可得到數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式c_n；
（3）求出前n項(xiàng)和S_n，可得{}的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法，即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)以及數(shù)列的求和，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．