已知函數(shù)f(x)=
sinx
x
，判斷下列三個命題的真假：
①f（x）＜1；
②x=0為f（x）的一個極大值點；
③當(dāng)x∈（0，2π）時，f（x）沒有極值點．其中真命題的個數(shù)是（　�。�
分析：對于①針對函數(shù)f(x)=
sinx
x
的性質(zhì)，只須考慮當(dāng)0＜x＜
π
2
時的函數(shù)值即可，再利用單位圓中的三角函數(shù)線，通過面積關(guān)系證明sinx＜x；
對于②③，利用商的導(dǎo)數(shù)運算法則及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f ’(x)=(
sinx
x
)′=
xcosx-sinx
x2
，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號確定函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．
解答：解：①針對函數(shù)f(x)=
sinx
x
的性質(zhì)，只須考慮當(dāng)0＜x＜
π
2
時的函數(shù)值即可，
如圖，在單位圓中，有sinx=MA，
連接AN，則S△OAN＜S扇形OAN，
設(shè)
AN
的長為l，則x=
1
r
=1，
∴
1
2
ON•MA＜
1
2
ON•x，即MA＜x，
又sinx=MA，
∴sinx＜x，∴f(x)=
sinx
x
，故①正確；
②因為x為0時分母無意義，所以x=0不能為f（x）的一個極大值點，故②錯誤；
③由于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f ’(x)=(
sinx
x
)′=
xcosx-sinx
x2
，
當(dāng)x∈(0，
3π
2
)時，xcosx-sinx＜0，即f'（x）＜0，
當(dāng)x∈(
3π
2
，π)時，xcosx-sinx＞0，即f'（x）＞0，則函數(shù)在x=
3π
2
時取得極值，故③錯誤．
故答案選 B．
點評：本題考查的知識點是，判斷命題真假，比較綜合的考查了三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的一些性質(zhì)，我們可以根據(jù)三角函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的常用結(jié)論對三個結(jié)論逐一進(jìn)行判斷，可以得到正確的結(jié)論．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（附加題）
（Ⅰ）設(shè)非空集合S={x|m≤x≤l}滿足：當(dāng)x∈S時有x2∈S，給出下列四個結(jié)論：
①若m=2，則l=4
②若m=-
1
2
，則
1
4
≤l≤1
③若l=
1
2
，則-
2
2
≤m≤0④若m=1，則S={1}，
其中正確的結(jié)論為
②③④
②③④
．
（Ⅱ）已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)，其中a，b∈R．若對于任意的a∈[
1
2
，2]，f（x）≤10在x∈[
1
4
，1]上恒成立，則b的取值范圍為
（-∞，
7
4
]
（-∞，
7
4
]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將正奇數(shù)列{2n-1}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表：
記aij是這個數(shù)表的第i行第j列的數(shù)．例如a43=17
（Ⅰ）  求該數(shù)表前5行所有數(shù)之和S；
（Ⅱ）2009這個數(shù)位于第幾行第幾列？
（Ⅲ）已知函數(shù)f(x)=
3x
3n
（其中x＞0），設(shè)該數(shù)表的第n行的所有數(shù)之和為bn，
數(shù)列{f（bn）}的前n項和為Tn，求證Tn＜
2009
2010
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•開封二模）已知函數(shù)f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2
．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）記△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c若f(A)=
3
2
，△ABC的面積S=
3
2
，a=
3
，求b+c的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•黑龍江一模）已知函數(shù)f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4
．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若f（A）=0，a=
3
，b=2，求△ABC的面積S．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•黃山模擬）已知函數(shù)f(x)=ln2(1+x)，g(x)=
x2
1+x
．
（Ⅰ）分別求函數(shù)f（x）和g（x）的圖象在x=0處的切線方程；
（Ⅱ）證明不等式ln2(1+x)≤
x2
1+x
；
（Ⅲ）對一個實數(shù)集合M，若存在實數(shù)s，使得M中任何數(shù)都不超過s，則稱s是M的一個上界．已知e是無窮數(shù)列an=(1+
1
n
)n+a所有項組成的集合的上界（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)a的最大值．

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同步練習(xí)冊答案