Question

如圖，已知△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，且EC、BD在平面ABC的同側，M為EA的中點，CE=CA=2BD，求證：
（1）DE=DA；
（2）平面BDM⊥平面ECA．

Answer 1

分析：（1）取AC中點N，連接MN、BN，欲證DE=DA，根據(jù)三角形的中線又是高的三角形是等腰三角形，而M為AE中點，只需證明DM⊥AE即可；
（2）欲證平面BDM⊥平面AEC，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面BDM內(nèi)一直線與平面AEC垂直，而根據(jù)題意可得DM⊥平面AEC．

解答：證明：（1）取AC中點N，連接MN、BN，∵△ABC是正三角形，∴BN⊥AC，
∵EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，∴EC∥BD，EC⊥BN，
又∵M為AE中點，EC=2BD，∴MN

∥ .

.

BD，∴BN

∥ .

.

DM，
∴四邊形MNBD是平行四邊形，
由BN⊥AC，BN⊥EC，得BN⊥平面AEC，∴DM⊥平面AEC，
∴DM⊥AE，∴AD=DE．
（2）∵DM⊥平面AEC，DM?平面BDM，
∴平面BDM⊥平面AEC．

點評：本小題主要考查平面與平面垂直的判定，以及等腰三角形的判定等有關知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查轉化思想，屬于基礎題．