Question

如圖所示，曲線段OMB是函數(shù)f(x)＝x²(0＜x＜6)的圖像，BA⊥x軸于A，曲線段OMB上一點M(t，f(t))處的切線PQ交x軸于P，交線段AB于Q．

(1)試用t表示切線PQ的方程；

(2)試用t表示出△QAP的面積g(t)；若函數(shù)g(t)在(m，n)上單調(diào)遞減，試求出m的最小值；

(3)若S_△QAP∈[，64]，試求出點P橫坐標的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解　　(1)設(shè)點M(t，t2)，又(x)＝2x， 　　∴過點M的切線PQ的斜率k＝2t， 　　∴切線PQ的方程為：y＝2tx－t2． 　　(2)由(1)可求得，P(，0)，Q(6，12t－t2)， 　　∴g(t)＝S△QAP＝(6－t)(12t－t2) 　　　  　＝－6t2＋36t(0＜t＜． 　　由于(t)＝－12t＋36，令(t)＜0，則4＜t＜12．考慮到0＜t＜6，∴4＜t＜6， 　　∴函數(shù)g(t)的單調(diào)遞減區(qū)間是(4，6)，因此m的最小值為4． 　　(3)由(2)知，g(t)在區(qū)間(4，6)上遞減，∴此時S△QAP∈(g(6)，g(4))＝(54，64)． 　　令(t)＞0，則0＜t＜4，∴g(t)在區(qū)間(0，4)上遞增， 　　S△QAP∈(g(0)，g(4))＝(0，64)，又g(4)＝64，∴g(t)的值域為(0，64]．由≤g(t)≤64，得1≤t＜6． 　　∴≤＜3，∴點P的橫坐標∈[，3)．