Question

（2009•臺州一模）已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=

3

，∠ACB=90°．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直線PC與平面PAB所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：本題考查空間中的直線與平面的垂直關系，考查直線與平面所成的角．證明直線與平面垂直的關鍵是證明直線與平面內的兩條相交直線垂直；求線面角的關鍵是得出直線在平面內的射影．（I）利用PA⊥底面ABCD，與已知得PA⊥BC及BC⊥AC，因此可證得BC⊥平面PAC；（Ⅱ）利用平面PAB⊥底面ABCD，作CE垂直AB，得CE⊥面PAB，直線PC與平面PAB所成的角為∠EPC，求出即可．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵PA⊥底面ABCD，BC?面ABCD
∴PA⊥BC，∵∠ACB=90°
∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC；
 （Ⅱ）過C作CE⊥AB于E，連接PE．
∵PA⊥底面ABCD，PA?面PAB，∴面PAB⊥面ABCD，且面PAB∩面ABCD=AB，
∴CE⊥面PAB，
∴PE是PC在面PAB內的射影，∠EPC為直線PC與平面PAB所成的角．
∵AD=CD=1，∠ADC=60°．△ACD 為正三角形，∴AC=1，
PC=

PA2+AC2

=2，在直角三角形ACB中，∠BAC=60，AB=2，BC=

3

．又CE•AB=AC•BC，解得CE=

3

2

∴sin∠EPC=

EC

PC

=

3

4

．

點評：本題考查空間直線和平面垂直關系的判定，線面角的大小求解．立體幾何的證明問題，得分容易，但得滿分不易，主要原因是在運用綜合法證明問題時，說理不充分，邏輯關系不嚴密，這就要求在解決這類問題時，一定要細心，做到步步有理由，環(huán)環(huán)相扣，不跳步．