Question

已知曲線ax²+by²=12的兩條動弦MA，MB所在直線的斜率分別為k₁，k₂．
（1）已知a=b=3且A（-2，0），B（2，0），試證明：k₁k₂為定值．
（2）已知a=3，b=4．
①若A（-2，0），B（2，0），試判斷k₁k₂是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．
②若定點M（1，-

3

2

）且k₁k₂=-

3

4

，試判斷直線AB是否過一定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）當a=b=3時，ax²+by²=12為x²+y²=4，由此能證明k₁k₂=-1為定值．
（2）①a=3，b=4時，曲線為

x2

4

+

y2

3

=1，設M（x₀，y₀），則

x02

4

+

y02

3

=1，k1=

y0

x0+2

，k2=

y0

x0-2

，由此能求出k₁k₂=

y02

x02-4

=-

3

4

為定值．
②定點M（1，-

3

2

）且k₁k₂=-

3

4

，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），k₁k₂=

y1+ 3 2

x1-1

•

y2+ 3 2

x2-1

=-

3

4

，設直線AB為y=kx+b，聯(lián)立

y=x+b x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0，由此利用韋達定理能證明直線AB過一定點（0，0）．

解答： （1）證明：當a=b=3時，ax²+by²=12為x²+y²=4，
它是以（0，0）為圓心，以2為半徑的圓，
此時A（-2，0），B（2，0）是圓的兩個端點，
∴由圓的性質得MA⊥MB，
∴k₁k₂=-1為定值．
（2）①解：a=3，b=4時，曲線為

x2

4

+

y2

3

=1，
且A（-2，0），B（2，0）為橢圓長軸兩端點，
設M（x₀，y₀），則

x02

4

+

y02

3

=1，
∵弦MA，MB所在直線的斜率分別為k₁，k₂，
∴k1=

y0

x0+2

，k2=

y0

x0-2

，
∴k₁k₂=

y02

x02-4

=-

3

4

為定值．
②定點M（1，-

3

2

）且k₁k₂=-

3

4

，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），k1=

y1+ 3 2

x1-1

，k2=

y2+ 3 2

x2-1

，
k₁k₂=

y1+ 3 2

x1-1

•

y2+ 3 2

x2-1

=-

3

4

，（*）
設直線AB為y=kx+b，
聯(lián)立

y=x+b x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0，
∴x₁+x₂=-

8kb

3+4k2

，x₁x₂=

4b2-12

3+4k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b，
y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+b2，
代入（*）式，解得b=0，
∴直線AB的方程為y=kx，
∴直線AB過一定點（0，0）．

點評：本題考查兩直線的斜率這積為定值的證明，考查直線是事過定點的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．