Question

已知橢圓上兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)為A、C，又B、D為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且B、D分別在直線AC的兩旁，求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：將橢圓的參數(shù)方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程：，作出它的圖形，再設(shè)A（0，5），C（4，0），B、D為橢圓上位于AC的兩側(cè)的兩點(diǎn)．將四邊形ABCD分解，得它的面積S=S_△ACD+S_△ACB，從而得出ABCD面積S=AC（h₁+h₂），其中h₁、h₂分別為點(diǎn)B、D到AC的距離．因此，當(dāng)平行于AC的直線l₁與橢圓相切于點(diǎn)B，平行于AC的直線l₂與橢圓相切于點(diǎn)D時(shí)，四邊形面積達(dá)到最大值．然后設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)和直線l₁的方程，通過(guò)聯(lián)解方程組，可得點(diǎn)B（2，），點(diǎn)D（-2，-）．最后求出直線AC的方程5x+4y-20=0，利用點(diǎn)到直線的距離公式和三角形面積公式，可求出四邊形ABCD面積的最大值．
解答：解：將橢圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得，作出它的圖形如右圖
設(shè)A（0，5），C（4，0），B、D為橢圓上兩點(diǎn)，且位于AC的兩側(cè)
則四邊形ABCD的面積S=S_△ACD+S_△ACB，而S_△ACB=AC•h₁，S_△ACD=AC•h₂
∴四邊形ABCD的面積S=AC•h₁+AC•h₂=AC（h₁+h₂），其中h₁、h₂分別為點(diǎn)B、D到AC的距離
因此，當(dāng)平行于AC的直線l₁與橢圓相切于點(diǎn)B時(shí)，h₁達(dá)到最大值；當(dāng)平行于AC的直線l₂與橢圓相切于點(diǎn)D時(shí)，h₂達(dá)到最大值．
設(shè)點(diǎn)B（x₁，y₁），得直線l₁的方程為：
∵，
∴，可得點(diǎn)B（2，）
∵直線AC的方程為y=-x+5，即5x+4y-20=0，
∴點(diǎn)B到AC的距離為：=，即h₁的最大值為
同理，可得點(diǎn)D（-2，-），D到AC的距離為，即h₂的最大值為，
∴四邊形ABCD的面積S的最大值為AC[+]=××=
點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓的參數(shù)方程，以上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)的連線為對(duì)角線，得橢圓的內(nèi)接四邊形并求此四邊形面積的最大值，著重考查了橢圓的參數(shù)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，屬于難題．