Question

【題目】已知函數(shù)的極大值為16，極小值為－16.

（1）求和的值；

（2）若過(guò)點(diǎn)可作三條不同的直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），； （2）.

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，確定極大值和極小值，由題意可求得；

（2）設(shè)切點(diǎn)，切線(xiàn)方程為，即，由切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，得，

從而此方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，再由導(dǎo)數(shù)研究的極大值和極小值可得出結(jié)論．

（1）函數(shù)，

.

可得：函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

∴時(shí)函數(shù)取得極大值16，時(shí)函數(shù)取得極小值－16.

∴，，

聯(lián)立解得：，，

（2）由（1）可知，設(shè)切點(diǎn)，

則切線(xiàn)方程為，即，

因?yàn)榍芯�(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，

由于有3條切線(xiàn)，所以方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根，

設(shè)，則只要使有3個(gè)零點(diǎn)，

令，解得或，

當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

所以時(shí)，取極大值，時(shí)，取極小值，

所以要是曲線(xiàn)與軸有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，即，

解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.