Question

已知橢圓,過(guò)點(diǎn)P(2,1)作一弦,使弦在這點(diǎn)被平分,求此弦所在直線的方程.

Answer 1

解法一：如圖,設(shè)所求直線的方程為y-1=k(x-2),

代入橢圓方程并整理,得

(4k²+1)x²-8(2k²-k)x+4(2k-1)²-16=0,

又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

則x₁、x₂是上面的方程的兩個(gè)根,

∴x₁+x₂=

∵P為弦AB的中點(diǎn),

∴

解得k=-,

∴所求直線的方程為x+2y-4=0.

解法二：

設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)為A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),則

∵P為弦AB的中點(diǎn),

∴x₁+x₂=4,y₁+y₂=2.

又∵A、B在橢圓上,

∴x₁²+4y₁²=16,x₂²+4y₂²=16.

兩式相減,得(x₁²-x₂²)+4(y₁²-y₂²)=0,

即(x₁+x₂)(x₁-x₂)+4(y₁+y₂)(y₁-y₂)=0.

∴

即k_AB=-.

∴所求直線方程為y-1=-(x-2),

即x+2y-4=0.

解法三：

設(shè)所求直線與橢圓的一交點(diǎn)為A(x,y),另一交點(diǎn)為B(4-x,2-y),則

∵A、B在橢圓上,

∴x²+4y²=16,                              ①

(4-x)²+4(2-y)²=16.                      ②

從而A、B在方程①-②的圖形x+2y-4=0上,而過(guò)A、B的直線只有一條,

∴所求直線的方程為x+2y-4=0.綠色通道：中點(diǎn)弦問(wèn)題求解關(guān)鍵在于充分利用“中點(diǎn)”這一條件,靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及根與系數(shù)的關(guān)系.例題中的方法一是設(shè)出方程,根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)求出k;方法二是“設(shè)而不求”,即設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo),代入方程,整體求出斜率;方法三最簡(jiǎn)便,但是不容易想出.