Question

14．設f（x）=sinxcosx+sin²x-$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求f（x）的單調遞減區(qū)間；
（Ⅱ）把y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{24}$個單位，得到函數y=g（x）的圖象，求y=g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數的恒等變換化簡函數的解析式，再利用正弦函數的單調性，求得f（x）的單調遞減區(qū)間．
（Ⅱ）利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數的定義域和值域，求得y=g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=sinxcosx+sin²x-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{2}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{8}$，
可得f（x）的單調遞減區(qū)間為[kπ+$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{7π}{8}$]，k∈Z．
（Ⅱ）把y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{24}$個單位，得到函數y=g（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin[2（x+$\frac{π}{24}$）-$\frac{π}{4}$]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）的圖象，
在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，故當2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$ 時，函數g（x）取得最小值為-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
當2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$ 時，函數g（x）取得最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題主要考查三角函數的恒等變換，正弦函數的單調性，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．