已知直線經(jīng)過橢圓C：的左頂點A和上頂點D，橢圓C的右頂點為B，點S是橢圓C上位于x軸上方的動點，直線AS，BS與直線：分別交于M，N兩點，如圖所示。
（1）求橢圓C的方程；
（2）求線段MN的長度的最小值；
（3）當線段MN的長度的最小時，在橢圓C上是否存在這樣的點T，使得△TSB的面積為？若存在，確定點T的個數(shù)，若不存在，請說明理由。
解：（1）由題意，得橢圓方程為。
（2）設(shè)直線AS的方程為，
從而可知M點的坐標為，
由，得，
所以可得BS的方程為，
從而可知N點的坐標為，
∴，當且僅當時，等號成立，
故當時，線段MN的長度取最小值。
（3）由（2）知，當|MN|取最小值時，，
此時直線BS的方程為，，
∴|BS|=，
要使橢圓C上存在點T，使得△TSB的面積等于，只需T到直線BS的距離等于，
所以點T在平行于直線BS且與直線BS的距離等于的直線上。

則直線：或，
聯(lián)立，，△<0，無解；
，△=44>0，有兩個解；
所以T有兩個。
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知A為橢圓C的左頂點，直線l過右焦點F與橢圓C交于M，N兩點，若AM、AN的斜率k1，k2滿足k1+k2=m（定值m≠0），求直線l的斜率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線經(jīng)過橢圓 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    的左頂點A和上頂點D，橢圓的右頂點為，點和橢圓上位于軸上方的動點，直線，與直線分別交于兩點。

   （I）求橢圓的方程；

   （Ⅱ）求線段MN的長度的最小值；

   （Ⅲ）當線段MN的長度最小時，在橢圓上是否存在這

樣的點，使得的面積為？若存在，確定點的個數(shù)，若不存在，說明理由

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年廣東省高三上學期期中考試理科數(shù)學（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分14分）

已知直線經(jīng)過橢圓S：的一個焦點和一個頂點．

（1）求橢圓S的方程；

（2）如圖，M，N分別是橢圓S的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設(shè)直線PA的斜率為k．

①若直線PA平分線段MN，求k的值；

②對任意，求證：．

 

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

(本小題滿分14分)已知直線經(jīng)過橢圓的左頂點A和上頂點D，橢圓C的右頂點為B，點P是橢圓C上位于軸上方的動點，直線AP，BP與直線分別交于M，N兩點.

(1)求橢圓C的方程；

(2)求線段MN的長度的最小值；

(3)當線段MN的長度最小時，Q點在橢圓上運動，記△BPQ的面積為S，當S在上變化時，討論S的大小與Q點的個數(shù)之間的關(guān)系.

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