Question

已知y=log_ax，當(dāng)x∈（3，+∞）時(shí)，總有|y|＞1，則實(shí)數(shù)a的范圍是（　�。�

• A．{a|

  1

  3

  ≤a≤3，且a≠1}
• B．{a|

  1

  2

  ≤a≤2，且a≠1}
• C．{a|a≥3，或a≤

  1

  3

  }
• D．{a|a≥2，或a≤

  1

  2

  }

Answer 1

分析：當(dāng)a＞1時(shí)，不等式即 log_ax＞1=log_aa，故a＜x對(duì)任意x∈（3，+∞）恒成立，得到1＜a＜3；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，有-logax=loga

1

x

＞1=log_aa，故a＞

1

x

對(duì)任意x∈（3，+∞）恒成立，故

1

3

＜a＜1，將兩種情況下求得的a的取值范圍再取并集．

解答：解：當(dāng)a＞1時(shí)，
∵x∈[3，+∞），
∴y=f（x）=log_ax＞0，
由|f（x）|＞1，得log_ax＞1=log_aa，
∴a＜x對(duì)任意x∈（3，+∞）恒成立．
于是：1＜a＜3；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，
∵x∈（3，+∞），
∴y=f（x）=log_ax＜0，
由|f（x）|＞1，得-log_ax=loga

1

x

＞1=log_aa，
∴a＜x對(duì)任意x∈（3，+∞）恒成立．
于是：

1

3

＜a＜1． 
綜之：a∈（

1

3

，1）∪（1，3）．
故答案為：

1

3

＜a＜3且a≠1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及特殊點(diǎn)，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．