Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2bx的圖象在點(diǎn)A（0，f（0））處的切線L與直線x-y+3=0平行，若數(shù)列{

1

f(n)

}的前n項(xiàng)和為S_n，則S₂₀₁₃的值為（　　）

• A．

  2010

  2011

• B．

  2011

  2012

• C．

  2012

  2013

• D．

  2013

  2014

Answer 1

分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由切線的斜率和導(dǎo)數(shù)幾何意義求出b，求出f（x）代入

1

f(n)

并進(jìn)行裂項(xiàng)，代入S₂₀₁₃求值．

解答：解：由題意得，f′（x）=2x+2b，
∵在點(diǎn)A（0，f（0））處的切線L與直線x-y+3=0平行，
∴f′（0）=2b=1，得b=

1

2

，
∴f（x）=x²+x，
則

1

f(n)

=

1

n2+n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S₂₀₁₃=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

2013

-

1

2014

）]
=1-

1

2014

=

2013

2014

，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題．