Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n+1=2a_n+1，
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）由（1）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

解：（1）分別令n取1，2，3
得到a₂=2×3+1=7，
a₃=2×7+1=15，
a₄=2×15+1=31．
（2）猜想a_n=2ⁿ⁺¹-1，
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2²-1=3，故命題成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即a_n=2ⁿ⁺¹-1，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=2a_k+1=2（2ⁿ⁺¹-1）+1=2^（n+1）+1-1，
故命題也成立．
綜上，對(duì)一切n∈N₊都有a_n=2ⁿ⁺¹-1成立．
分析：（1）分別令n=1，2，3，代入數(shù)列的遞推式能夠依次求出a₂，a₃，a₄．
（2）猜想出數(shù)列的遞推式，檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．
點(diǎn)評(píng)：考查根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，實(shí)際上不同可以這樣解a_n+1+1=2（a_n+1），得到a_n+1=4•2^n-1，a_n=4•2^n-1-1即a_n=2ⁿ⁺¹-1，本題考查數(shù)列的遞推公式，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立．證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，是解題的難點(diǎn)．