Question

在直角坐標(biāo)系中，設(shè)矩形OPQR的頂點(diǎn)按逆時(shí)針順序依次為O（0，0）、P（1，t）、Q（1-2t，2+t）、R（-2t，2），
其中t∈（0，+∞）．
（1）求矩形OPQR在第一象限部分的面積S（t）；
（2）確定函數(shù)S（t）的單調(diào)區(qū)間，并加以證明．

Answer 1

解：（1）當(dāng)1-2t＞0即0＜t＜時(shí)，0＜t＜時(shí)，點(diǎn)Q在第一象限，如圖（1），
直線RQ的方程為y=t（x+2t）+2，它與y軸的交點(diǎn)T（0，2+2t²），
故△ORT的面積S=×2t×（2+2t²）=2t×（1+t²）
可得矩形在第一象限內(nèi)的部分面積為S（t）=2+2t²-2t×（1+t²）=2[1-t×（1+t+t²）]
當(dāng)-2t+1≤0，即t≥時(shí)，如圖（2），點(diǎn)Q在y軸上或第二象限，S（t）為△OPT的面積，
直線PQ的方程為y=-+t+，
令x=0得y=t+，故點(diǎn)T的坐標(biāo)為（0，t+），
故S（t）=S_△OPT==
綜上知S（t）=

（2）S（t）在區(qū)間（0，）與（，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）是增函數(shù)，證明如下
下用導(dǎo)數(shù)法證明：
由于S'（t）=
驗(yàn)證知當(dāng)在區(qū)間（0，）與（，1）上S'（t）＜0，在（1，+∞）上S'（t）＞0
故得S（t）在區(qū)間（0，）與（，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）是增函數(shù)
分析：（1）要求矩形OPQR在第一象限部分的面積S（t），必須考查各頂點(diǎn)的可能位置．由于t為正數(shù)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，顯然點(diǎn)P在第一象限，點(diǎn)R在第二象限，但點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)1-2t可正、可零、可負(fù)，即Q點(diǎn)可能在第一象限或在y軸上或在第二象限，需分類求解．
（2）由（1）知t的不同取值知S（t）有不同的表達(dá)式，因此要就不同的表達(dá)式來(lái)確定函數(shù)S（t）的單調(diào)區(qū)間．
點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間，考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)關(guān)系式，借用函數(shù)的單調(diào)性研究實(shí)際問(wèn)題的變化情況，本題是借助函數(shù)的變化研究圖形面積的變化，本題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想及轉(zhuǎn)化的思想，根據(jù)題意選擇合適的函數(shù)模型來(lái)研究幾何問(wèn)題是一種常見(jiàn)的思路．