Question

8．已知橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，與x軸不重合的直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)F₁，且與橢圓G相交于A，B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為M，直線(xiàn)OM與橢圓G相交于C，D兩點(diǎn)．
（1）若直線(xiàn)l的斜率為1，求直線(xiàn)OM的斜率；
（2）是否存在直線(xiàn)l，使得|AM|²=|CM|•|DM|成立？若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，求出直線(xiàn)l的方程，設(shè)出A、B的坐標(biāo)，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程，可得A、B的坐標(biāo)，可得其中點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可得直線(xiàn)OM的斜率；
（2）假設(shè)存在直線(xiàn)l，使得|AM|²=|CM|•|DM|成立，討論直線(xiàn)斜率情況，可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x+1）（k≠0），聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓G的方程，分析可得是否滿(mǎn)足題意，即可得答案．

解答 解：（1）由已知可知F₁（-1，0），又直線(xiàn)l的斜率為1，所以直線(xiàn)l的方程為y=x+1，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=x+1\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=0\\{y_1}=1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x_2}=-\frac{4}{3}\\{y_2}=-\frac{1}{3}.\end{array}\right.$，
所以AB中點(diǎn)$M（-\frac{2}{3}，\frac{1}{3}）$，
于是直線(xiàn)OM的斜率為$\frac{{\frac{1}{3}}}{{-\frac{2}{3}}}=-\frac{1}{2}$．
（2）假設(shè)存在直線(xiàn)l，使得|AM|²=|CM|•|DM|成立．
當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，AB的中點(diǎn)M（-1，0），
所以$|AM|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$|CM|•|DM|=（\sqrt{2}-1）（\sqrt{2}+1）=1$，矛盾；
故直線(xiàn)的斜率存在，可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x+1）（k≠0），
聯(lián)立橢圓G的方程，得（2k²+1）x²+4k²x+2（k²-1）=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=-\frac{{4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{2（{k^2}-1）}}{{2{k^2}+1}}$，
于是$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=k•（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}+1）=k•（-\frac{{2{k^2}}}{{2{k^2}+1}}+1）=\frac{k}{{2{k^2}+1}}$，
點(diǎn)M的坐標(biāo)為$（-\frac{{2{k^2}}}{{2{k^2}+1}}，\frac{k}{{2{k^2}+1}}）$，$|AB|=\sqrt{（1+{k^2}）{{（{x_1}-{x_2}）}^2}}=\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{{{（-\frac{{4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}）}^2}-4•\frac{{2（{k^2}-1）}}{{2{k^2}+1}}}=\frac{{2\sqrt{2}•（1+{k^2}）}}{{2{k^2}+1}}$．
直線(xiàn)CD的方程為$y=-\frac{1}{2k}•x$，聯(lián)立橢圓G的方程，得${x^2}=\frac{{4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}$，
設(shè)C（x₀，y₀），則$|OC{|^2}={x_0}^2+{y_0}^2=（1+\frac{1}{{4{k^2}}}）{x_0}^2=\frac{{4{k^2}+1}}{{2{k^2}+1}}$，
由題知，|AB|²=4|CM|•|DM|=4（|CO|+|OM|）（|CO|-|OM|）=4（|CO|²-|OM|²），
即$\frac{{8{{（1+{k^2}）}^2}}}{{{{（2{k^2}+1）}^2}}}=4（\frac{{4{k^2}+1}}{{2{k^2}+1}}-\frac{{{k^2}（4{k^2}+1）}}{{{{（2{k^2}+1）}^2}}}）$，
化簡(jiǎn)，得${k^2}=\frac{1}{2}$，故$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以直線(xiàn)l的方程為$y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}（x+1）$，$y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}（x+1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，涉及直線(xiàn)問(wèn)題注意分析直線(xiàn)的斜率是否存在．