Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中點(diǎn)．

(Ⅰ)證明：CD⊥平面PAE；

(Ⅱ)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P－ABCD的體積．

Answer 1

答案：
解析：

　　解法1：(Ⅰ如圖)，連接AC，由AB＝4，，

　　E是CD的中點(diǎn)，所以

　　所以

　　而內(nèi)的兩條相交直線，所以CD⊥平面PAE．

　　(Ⅱ)過點(diǎn)B作

　　由(Ⅰ)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE．于是為直線PB與平面PAE

　　所成的角，且．

　　由知，為直線與平面所成的角．

　　由題意，知

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60R0/0023/0018/80ca818e31f0c0019aa9ac92690fdaf9/C/Image196.gif" width=222 height=41>所以

　　由所以四邊形是平行四邊形，故于是

　　在中，所以

　　

　　于是

　　又梯形的面積為所以四棱錐的體積為

　　

　　解法2：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)則相關(guān)的各點(diǎn)坐標(biāo)為：

　　

　　(Ⅰ)易知因?yàn)?/P>

　　所以而是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以

　　(Ⅱ)由題設(shè)和(Ⅰ)知，分別是，的法向量，而PB與

　　所成的角和PB與所成的角相等，所以

　　

　　由(Ⅰ)知，由故

　　

　　解得．

　　又梯形ABCD的面積為，所以四棱錐的體積為

　　．

提示：

本題考查空間線面垂直關(guān)系的證明，考查空間角的應(yīng)用，及幾何體體積計(jì)算．第一問只要證明即可，第二問算出梯形的面積和棱錐的高，由算得體積，或者建立空間直角坐標(biāo)系，求得高幾體積．