Question

（本小題滿(mǎn)分12分）
在如圖所示的四棱錐中，已知 PA⊥平面ABCD， ， ，，
為的中點(diǎn)．

（1）求證：MC∥平面PAD；
（2）求直線(xiàn)MC與平面PAC所成角的余弦值；
（3）求二面角的平面角的正切值．

Answer 1

(1)根據(jù)中位線(xiàn)性質(zhì)，得到EM//AB,且EM= AB. 又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824003835319590.png" style="vertical-align:middle;" />，且，所以EM//DC，且EM=DC ∴四邊形DCME為平行四邊形, 則MC∥DE，
(2)(3)

試題分析：（1 ）如圖，取PA的中點(diǎn)E，連接ME，DE，∵M為PB的中點(diǎn)，

∴EM//AB,且EM= AB. 又∵，且，
∴EM//DC，且EM=DC ∴四邊形DCME為平行四邊形,
則MC∥DE，又平面PAD, 平面PAD
所以MC∥平面PAD
（2）取PC中點(diǎn)N，則MN∥BC，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC ，
又,∴BC⊥平面PAC，
則MN⊥平面PAC所以，為直線(xiàn)MC與平面PAC所成角，

（3）取AB的中點(diǎn)H，連接CH，則由題意得
又PA⊥平面ABCD，所以，則平面PAB.
所以,過(guò)H作于G,連接CG，則平面CGH,所以
則為二面角的平面角.

則，
故二面角的平面角的正切值為
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是能利用線(xiàn)面角和二面角的定義，準(zhǔn)確的表示角，借助于三角形的知識(shí)來(lái)求解得到，也可以建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)運(yùn)用空間向量法來(lái)得到求解，屬于中檔題。