Question

已知函數(shù)f（x）=

x

x2+b

，其中b∈R．
（Ⅰ）f（x）在x=-1處的切線與x軸平行，求b的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

（Ⅰ）由題意f（x）=

x

x2+b

，故f′（x）=

x2+b-x•2x

(x2+b)2

=

b-x2

(x2+b)2

…（2分）
依題意，由f′（-1）=

b-1

(1+b)2

=0，得b=1．…（4分）
經(jīng)檢驗(yàn)，b=1符合題意．…（5分）
（Ⅱ）①當(dāng)b=0時(shí)，f（x）=

1

x

．
故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0），和（0，+∞）；無單調(diào)增區(qū)間． …（6分）
②當(dāng)b＞0時(shí)，f′（x）=

b-x2

(x2+b)2

．令f′（x）=0，得x₁=-

b

，x₂=

b

…（8分）
故f（x）和f′（x）的情況如下：

x	（-∞，- b ）	- b	（- b ， b ）	b	（ b ，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-

b

），（

b

，+∞）；單調(diào)增區(qū)間為（-

b

，

b

）．…（11分）
③當(dāng)b＜0時(shí)，f（x）的定義域?yàn)镈={x|x≠±

-b

}，因?yàn)閒′（x）=

b-x2

(x2+b)2

＜0在D上恒成立，
故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-

-b

），（-

-b

，

-b

），（

-b

，+∞）；無單調(diào)增區(qū)間．…（13分）