Question

在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D=

2

a，在線段SA上取一點(diǎn)E（不含端點(diǎn)）使EC=AC，截面CDE與SB交于點(diǎn)F．
（1）求證：四邊形EFCD為直角梯形；
（2）設(shè)SB的中點(diǎn)為M，當(dāng)

CD

AB

的值是多少時(shí)，能使△DMC為直角三角形？請(qǐng)給出證明．

Answer 1

分析：（1）由CD∥AB，AB?平面SAB，知CD∥平面SAB，面EFCD∩面SAB=EF，CD∥EF．由∠D=90°，知CD⊥AD，SD⊥面ABCD．由此能夠證明EFCD為直角梯形．
（2）由題中條件可推得DM⊥SB，當(dāng)

CD

AB

=2時(shí)，△DMC為直角三角形．由AB=a，知CD=2a，BD=

AB2+AD2

=

2

a，∠BDC=450，SD⊥平面ABCD，SD⊥BC，BC⊥平面SBD．由此結(jié)合幾何知識(shí)進(jìn)行求解．

解答：解：（1）∵CD∥AB，AB?平面SAB，
∴CD∥平面SAB
面EFCD∩面SAB=EF，
∴CD∥EF．
∵∠D=90°，
∴CD⊥AD，
又SD⊥面ABCD，
∴SD⊥CD，
∴CD⊥平面SAD，
∴CD⊥ED又EF＜AB＜CD，
∴EFCD為直角梯形．
（2）當(dāng)

CD

AB

=2時(shí)，能使DM⊥MC．
∵AB=a，
∴CD=2a，BD=

AB2+AD2

=

2

a，∠BDC=450，
∴BC=

2

a，BC⊥BD，
∴SD⊥平面ABCD，
∴SD⊥BC，
∴BC⊥平面SBD．
在△SBD中，SD=DB，M為SB中點(diǎn)，
∴MD⊥SB．
∴MD⊥平面SBC，MC?平面SBC，
∴MD⊥MC，
∴△DMC為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意空間幾何體的合理轉(zhuǎn)化．