Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)為和S_n，點(diǎn)在直線上．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9項(xiàng)和為153．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)，數(shù)列{c_n}的前n和為T_n，求使不等式對(duì)一切n∈N^*都成立的最大正整數(shù)k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)點(diǎn)在直線上可得到整理可得到．，再由n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1可得到a_n的表達(dá)式，再對(duì)n=1時(shí)進(jìn)行驗(yàn)證即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；根據(jù)b_n+2-2b_n+1+b_n=0可轉(zhuǎn)化為b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n得到{b_n}為等差數(shù)列，即可求出{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）將（1）中的{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式代入到{c_n}中然后進(jìn)行裂項(xiàng)，可得到前n項(xiàng)和，進(jìn)而可確定T_n的表達(dá)式，然后作差可驗(yàn)證T_n單調(diào)遞增，求出T_n的最小值，然后令最小值大于求出k即可．
解答：解：（Ⅰ）由題意，得．
故當(dāng)．
注意到n=1時(shí)，a₁=S₁=6，而當(dāng)n=1，n+5=6，
所以，a_n=n+5（n∈N^*）．
又b_n+2-2b_n+1+b_n=0，即b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n（n∈N^*），
所以{b_n}為等差數(shù)列，于是．
而，
因此，b_n=b₃+3（n-3）=3n+2，即b_n=3n+2（n∈N^*）．
（Ⅱ）
=．
所以，
=．
由于，
因此T_n單調(diào)遞增，故．
令．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的裂項(xiàng)法和求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法．考查綜合運(yùn)用能力．