Question

（2008•南京模擬）已知k為正常數(shù)，方程x²-kx+u=0有兩個正數(shù)解x₁，x₂．
（1）求實數(shù)u的取值范圍；
（2）求使不等式（

1

x1

-x₁） （

1

x2

-x₂）≥（

k

2

-

2

k

）²恒成立的k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)方程x²-kx+u=0有兩個正數(shù)解x₁，x₂．可建立不等式組，從而得解；
（2）先利用韋達(dá)定理，將左邊表示成實數(shù)u的式子，利用導(dǎo)數(shù)法研究其最小值，從而解決恒成立問題．

解答：解：（1）由于方程x²-kx+u=0有兩個正數(shù)解x₁，x₂．
所以

△=k2-4u≥0 x1+x2=k＞0 x1x2=u＞0

…（3分）解得0＜u≤

k2

4

，
即實數(shù)u的取值范圍是（0，

k2

4

]；…（6分）
（2）（

1

x1

-x₁） （

1

x2

-x₂）=x₁x₂+

1

x1x2

-

x12+x22

x1x2

=u-

k2-1

u

+2．
令f （u）=u-

k2-1

u

+2（u＞0），所以f′（u）=1+

k2-1

u

，…（8分）
（i）若k≥1，因為0＜u≤

k2

4

，所以f′（u）＞0，從而f （u）在（0，

k2

4

]為增函數(shù)，所以
u-

k2-1

u

+2≤f （

k2

4

）=

k2

4

-

k2-1

k2 4

+2=（

k

2

-（

2

k

）²，
即（

1

x1

-x₁） （

1

x2

-x₂）≥（（

k

2

-（

2

k

）²不恒成立．…（10分）
（ii）若0＜k＜1，由f′（u）=1+

k2-1

u2

=0，得u=

1-k2

，
當(dāng)u∈（0，

1-k2

），f′（u）＜0；當(dāng)u∈（

1-k2

，+∞），f′（u）＞0，
所以函數(shù)f （u）在（0，

1-k2

]上遞減，在[

1-k2

，+∞）上遞增，…（12分）
要使函數(shù)f （u）在（0，

k2

4

]上恒有f （u）≥f （

k2

4

），必有

1-k2

≥

k2

4

，即k⁴+16 k²-16≤0，…（14分）
解得0＜k≤2

5 -2

．綜上，k的取值范圍是（0，2

5 -2

]．…（16分）

點評：本題以方程為載體，考查方程根問題，考查恒成立的處理，關(guān)鍵是進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值．